Comment résoudre ax² + bx + c = 0 ?

Calculez Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0 : deux racines x = (-b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : racine double x = -b/(2a). Si Δ < 0 : pas de racine réelle. Exemple : x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 1 → x₁ = 3, x₂ = 2.

Que signifie un discriminant négatif ?

Δ < 0 signifie pas de solution réelle. L'équation a deux racines complexes conjuguées z = (-b ± i√|Δ|)/(2a). Géométriquement, la parabole ne coupe pas l'axe des x.

Qu'est-ce que la forme factorisée ?

Pour Δ ≥ 0, on écrit a(x - x₁)(x - x₂) = 0. Pour une racine double : a(x - x₀)². Exemple : x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2). Utile pour simplifier des fractions rationnelles.

Comment trouver le sommet d'une parabole ?

Sommet = (xₛ, yₛ) avec xₛ = -b/(2a) et yₛ = c - b²/(4a). C'est le minimum si a > 0, le maximum si a < 0. L'axe de symétrie est x = xₛ.

Quelles sont les relations de Viète ?

x₁ + x₂ = -b/a (somme des racines) et x₁ × x₂ = c/a (produit des racines). Pratique pour vérifier : x² - 5x + 6 = 0 → somme = 5 (3+2) ✓ et produit = 6 (3×2) ✓.

Solveur Équation Second Degré 2026 — Discriminant, Racines réelles et complexes

Ce solveur résout toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 en calculant le discriminant Δ = b² − 4ac. Selon le signe de Δ, il affiche les deux racines réelles distinctes (Δ > 0), la racine double (Δ = 0) ou les deux racines complexes conjuguées (Δ < 0). Chaque coefficient est modifiable via des boutons +/- pour explorer l'espace des solutions.

L'équation est affichée dynamiquement en haut du formulaire (ex : "3x² − 5x + 2 = 0") et se met à jour à chaque modification des coefficients. Le discriminant est mis en valeur avec un code couleur : vert pour Δ > 0, bleu pour Δ = 0, rouge pour Δ < 0.

En plus des racines, le calculateur fournit la forme factorisée, les coordonnées du sommet de la parabole et l'axe de symétrie. Indispensable pour les lycéens en terminale, les étudiants en prépa et toute personne ayant besoin de résoudre rapidement une équation du second degré.

Dernière mise à jour :15 mars 2026v1.0

x² − 5x + 6 = 0

a (coefficient x2)

b (coefficient x)

c (terme constant)

Discriminant (Delta)

Delta > 0 — 2 racines reelles distinctes

x12

x23

Proprietes de la parabole

Sommet de la parabole(2,5 ; -0,25)

Axe de symetriex = 2,5

Forme factorisee(x − 2)(x − 3)

Discriminant Delta = b2 - 4ac(-5)2 - 4 x 1 x 6 = 1

Définitions des termes clés

Créé en 2025 · Mis à jour le 18 février 2026

Discriminant (Δ): Δ = b² − 4ac. Détermine le type de solutions : Δ > 0 = 2 racines réelles, Δ = 0 = 1 racine double, Δ < 0 = 2 racines complexes conjuguées.
Racines: Solutions de ax² + bx + c = 0. Pour Δ > 0 : x = (−b ± √Δ) / (2a). Pour Δ = 0 : x = −b / (2a). Pour Δ < 0 : racines complexes z = (−b ± i√|Δ|) / (2a).
Sommet de la parabole: Point extrême de la parabole y = ax² + bx + c. Coordonnées : xₛ = −b/(2a), yₛ = c − b²/(4a). Si a > 0 : minimum. Si a < 0 : maximum.
Forme factorisée: Pour Δ ≥ 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Pour Δ = 0 : a(x − x₀)². Utile en algèbre pour simplifier des fractions rationnelles.
Racines complexes: Quand Δ < 0, les racines sont z₁ = α + βi et z₂ = α − βi (conjuguées) avec α = −b/(2a) et β = √|Δ|/(2a). Le polynôme n'a pas de racine réelle.

Formules de résolution d'équation du second degré

Discriminant : Δ = b² − 4ac Ex : 2x² − 7x + 3 = 0 → Δ = 49 − 24 = 25

Racines réelles (Δ > 0) : x₁ = (−b + √Δ) / (2a) | x₂ = (−b − √Δ) / (2a) Ex : a=2, b=−7, c=3 → x₁ = (7+5)/4 = 3 | x₂ = (7−5)/4 = 0,5

Racine double (Δ = 0) : x₀ = −b / (2a) Ex : x² − 2x + 1 = 0 → x₀ = 2/2 = 1

Sommet de la parabole : xₛ = −b / (2a) | yₛ = c − b² / (4a) Le sommet est le minimum (a > 0) ou le maximum (a < 0) de la parabole.

Exemples de résolution d'équations du second degré

x² − 5x + 6 = 0Δ = 25 − 24 = 1 > 0 → x₁ = 3, x₂ = 2
x² − 2x + 1 = 0Δ = 4 − 4 = 0 → racine double x = 1
x² + x + 1 = 0Δ = 1 − 4 = −3 < 0 → 2 racines complexes
2x² − 7x + 3 = 0Δ = 49 − 24 = 25 → x₁ = 3, x₂ = 0,5
Sommet de y = x² − 4x + 3Sommet = (2 ; −1) — axe x = 2

Utilisez le simulateur ci-dessous pour un calcul personnalisé

Comment résoudre une équation du second degré ?

Étapes de résolution

Identifiez les coefficients a, b, c de l'équation ax² + bx + c = 0.
Calculez le discriminant : Δ = b² − 4ac.
Si Δ > 0 : deux racines réelles x₁ = (−b + √Δ)/(2a) et x₂ = (−b − √Δ)/(2a).
Si Δ = 0 : racine double x₀ = −b/(2a).
Si Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées (pas de solution réelle).

Interprétation géométrique

Les racines sont les points d'intersection de la parabole y = ax² + bx + c avec l'axe des abscisses.
Le sommet de la parabole (xₛ, yₛ) est le minimum si a > 0, le maximum si a < 0.
L'axe de symétrie passe par xₛ = −b/(2a).
La forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) est utile pour simplifier les expressions algébriques.

FAQ

Comment résoudre ax² + bx + c = 0 ?: Calculez Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0 : deux racines x = (-b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0 : racine double x = -b/(2a). Si Δ < 0 : pas de racine réelle. Exemple : x² - 5x + 6 = 0 → Δ = 1 → x₁ = 3, x₂ = 2.
Que signifie un discriminant négatif ?: Δ < 0 signifie pas de solution réelle. L'équation a deux racines complexes conjuguées z = (-b ± i√|Δ|)/(2a). Géométriquement, la parabole ne coupe pas l'axe des x.
Qu'est-ce que la forme factorisée ?: Pour Δ ≥ 0, on écrit a(x - x₁)(x - x₂) = 0. Pour une racine double : a(x - x₀)². Exemple : x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2). Utile pour simplifier des fractions rationnelles.
Comment trouver le sommet d'une parabole ?: Sommet = (xₛ, yₛ) avec xₛ = -b/(2a) et yₛ = c - b²/(4a). C'est le minimum si a > 0, le maximum si a < 0. L'axe de symétrie est x = xₛ.
Quelles sont les relations de Viète ?: x₁ + x₂ = -b/a (somme des racines) et x₁ × x₂ = c/a (produit des racines). Pratique pour vérifier : x² - 5x + 6 = 0 → somme = 5 (3+2) ✓ et produit = 6 (3×2) ✓.

Sources & références

Résolution équation second degré — Programme terminale, Éduscol
Discriminant et racines — Mathworld (Wolfram)
Nombres complexes et racines imaginaires — Programme MPSI